四维时空的数学形式(2)
【作者】网站采编
【关键词】
【摘要】非惯性系: 所谓 非惯性系 ,自然是选一个 受外力 的, 做变速运动的东西做参考点 咯,这样的实际东西在生活中无处不在、比比皆是。依然是 基于它研
非惯性系:所谓非惯性系,自然是选一个受外力的,做变速运动的东西做参考点咯,这样的实际东西在生活中无处不在、比比皆是。依然是基于它研究别的东西的运动情况。
让我们从最小作用量聊起
1744年,莱昂哈德·欧拉在论文《寻找具有极大值或极小值性质的曲线,等周问题的最广义解答》(Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, sive solutio proble matis isoperimetrici lattissimo sensu accepti)里,以清晰的字句,给出最小作用量原理的定义:
拉格朗日对最小作用量的表述
约瑟夫·拉格朗日对于变分法贡献良多。拉格朗日在论文《分析力学》(Mecanique Analytique)里,从能量守恒定律理论推导出欧拉表述的最小作用量原理是正确的[4]。能量守恒定律以方程表达为:
其中,E是总能量,T是势能,V是动能。
关于拉格朗日力学的知识:该内容大家大致了解即可,暂时无需深究
大家务必记住以下这个公式,我们马上就会用到它的变形:它的意义是:设定路径S的两个端点为固定不变,能量也守恒不变,则粒子移动的路径的作用量是稳定值:
式中大写S代表了作用量,ds在三维中是“路径”ds的意思,而到了四维时空中,我们就称它“事件”ds
路径ds:描述一维x,二维(x,y),三维空间(x,y,z),它的量纲是长度(比如米”)
事件ds:描述三维空间(x,y,z)+光速c×时间维度t (ct,x,y,z) 量纲也都是长度
S :无论在三维空间还是四维时空中,它都代表作用量。
四维时空也可以理解为四维空间,因为时间t×光速c,就是距离x
欧拉、拉格朗日原理:
我们总结一下前面讲到的东西,最小作用量原理是说,对于每一个力学体系,有一个叫作用量的积分存在,这个积分对于实际运动有最小值。上面的公式告诉我们,它的变分δS=0。
为了确定一个自由实物粒子的作用量的积分关系,我们引入下面这个公式:
∫ 表示粒子沿着事件a到事件b两个世界线的积分,这两个特定事件就是粒子在t1时刻到达初位置和在t2时刻到达末位置。α为表征该粒子的常数,只要知道是一个常数就可以了(暂时不用理解)
笔者在之前曾讲过一个特别重要的式子,不知道大家是否记得它:
看过笔者《洛伦兹变换的意义》一文,你就会明白固有时和观测时的关系:
于是,我们便可以转换问题的研究对象:作用量=粒子沿着事件a到事件b两个世界线的积分
,由于ds和dt有上面的公式关系:
前人的探索告诉我们:
m为粒子的质量,c为光速
于是,
作用量和时间的关系
上式中,S为作用量,c为光速,m为粒子的质量 dt为无限小时间间隔, 积分符号代表了无穷加和的思想。
(未完待续)欢迎大家继续关注。 文章来源:《应用数学和力学》 网址: http://www.yysxhlx.cn/zonghexinwen/2021/1207/1171.html