硬核科普——不确定性原理本质上与量子力学无(2)
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【摘要】因此,我们可以把波函数解释为产生一个概率波,告诉我们一个粒子在一个特定空间区域的概率。因此,描述粒子位置的波函数可以被看作是空间的波,而
因此,我们可以把波函数解释为产生一个概率波,告诉我们一个粒子在一个特定空间区域的概率。因此,描述粒子位置的波函数可以被看作是空间的波,而不是时间的波。
作为一个函数空间的算子,我们可以把它看作是一个纯数学的东西,然而,它有一个很好的物理解释,可以在两种情况下使用。我们将主要从物理学的角度来考虑它。但当然,它本质上是纯数学的。
其中h是普朗克常数,Δx和Δp分别是位置和动量的不确定性。
假设:
如果你想一想,这其实并不令人惊讶,因为如果你认为光是一个波包或物质波,那么动量是由光的频率给出的。
是一个可积分函数。f的傅里叶变换是由以下积分给出的:
当一个函数g是函数f的傅里叶变换时,我们称f和g为共轭变量或共轭对。对于任何一对共轭函数,都有一个不确定性原理。
如果f表示声波作为时间的函数,那么傅里叶变换表示构成声波的频率,因此f是频率的函数。
理解一个信号总是有这两种等价的表达方式是非常重要的。它们是等价的,因为给定其中一个,另一个是唯一确定的。唯一的傅里叶逆变换是:
观察者必须影响电子的动量(或某些量子状态)才能观察到它,这可能是真的,但这并不是不确定性原理的根本原因!让我们先定义一下海森堡的不确定性原理。
在提到傅里叶变换时,我们不能不说明和证明它的一些惊人的特性。首先是关于平移的。假设h(t)=f(t+a)。通过变量的改变,我们有:
数值只在函数外的a上取。所有这些都可以用一个表达式来说明:
这一特性是非常重要的。
因此,时间的变化(信号的延迟),对应于频率的相移。那么缩放呢..?假设h(t)=f(at)。我们把这种情况分成a<0和a>0。
特别是,我们有γ=h/p和f=E/h来显示这种关系。这里γ是波长,h是普朗克常数,p是动量,f是频率,E是能量。
我们越是确定一个给定的粒子是在一个小范围内,位置的波函数越局限(水平压缩)。由于动量的波函数是位置波函数的傅里叶变换,动量波函数将被水平拉长,这意味着动量将有更大的不确定性。这是由于上述傅里叶变换的缩放特性造成的。
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这就是海森堡的不确定性原理。 它只是傅里叶变换的作用。
另一对共轭变量是能量和时间。因此,对于能量和时间的同时测量,有另一种形式的海森堡不确定性原理。描述这种关系的不等式类似于经典的不确定性原理:
还有许多其他共轭变量,因此也有许多不确定性原理,但它们都有一个共同点,那就是其基本规律本身不是物理性的,而是数学性的。 波的数学只是限制了我们能从任何量子系统中检索到的信息量。
如果你拿一个激光器指向一个小狭缝,使部分光线被阻挡,但部分光线通过,那么就会出现一个惊人的现象。
光线在狭缝后面的墙上散开,如果让狭缝变窄,那么散开的范围就会变大。这似乎违背了直觉。这是因为海森堡的不确定性原理。当我们使狭缝越来越窄时,我们迫使位置波(波函数)越来越局部化(狭窄),根据不确定性原理,动量波函数变得越来越宽,使越来越多的方向成为可能。
也就是说,我们可以把一个函数分解成构成它的更简单的组成成分(纯波)。这几乎就是傅里叶级数和傅里叶变换所做的事情,只不过这个过程不仅仅是对周期性函数而言的。
文章来源:《应用数学和力学》 网址: http://www.yysxhlx.cn/zonghexinwen/2022/0518/1318.html