2.4 滑模域和滑模方程

本节讨论系统(1)的滑模动力学.

首先来讨论滑模区域的存在性.取法向量为n=(0,1), 由 〈n,F1(P,Sc)〉〈n,F2(P,Sc)〉<0可知滑模区域存在且为

Σs={(P,S)|P1

其中P1和P2分别为切点T1和T2的横坐标.根据 Filippov 凸方法[18]可知系统(1)在Σs上的滑模方程为

此时f(P)有唯一的零点那么E*=(P*,Sc)是Σs上唯一可能的伪平衡点,E*是伪平衡点当且仅当P1

2.5 闭轨的排除

本节讨论系统(1)的全局渐近稳定性, 首先来排除系统(1)的闭轨.

引理5系统(1)不存在围绕滑模闭包的闭轨.

证明采用反证法来证明.如图1所示, 假设系统(1)存在围绕的闭轨C.记C=C1+C2, 其中C1=C∩G1,C2=C∩G2.闭轨C交不连续边界Σ于点A1,A2, 那么D1是由C1和A1A2包围的区域,D2是由C2和A1A2包围的区域.令取函数那么

图1 可能存在围绕的闭轨示意图

在区域D1内运用格林公式, 可以得到

其中沿着C1有类似的, 在区域D2内也用格林公式可以得到

因为A2>A1, 那么

这与式(5)矛盾, 因此不可能存在环绕的闭轨.

引理6系统(1)不存在包含部分的闭轨.

证明采用反证法来证明.不失一般性, 不妨假设E1为实,E2为虚时,系统(1)存在包含的闭轨Γ.则Γ一定从切点T1出发并且到达如图2所示.此时闭轨外面的解轨线不能进入闭轨内部, 这与E1在区域G1的全局渐近稳定性是矛盾的.因此从T1出发的轨线不会到达

图2 当E1为实,E2为虚时, 可能存在包含部分的闭轨示意图

引理7[18]如果系统(1)的正半轨T+是有界的, 那么它的极限集Ω(T)要么包含一个平衡点, 要么包含一个闭轨.

3 全局动力学分析

定理1当R1<1时, 系统(1)的无烟平衡点E0是全局渐近稳定的.

证明由于R2

f(P1)=-d1P1+u-d2Sc=d2(S1-Sc)<0,f(P2)=d2(S2-Sc)<0.

即f(P)<0当P∈(P1,P2), 这说明此时伪平衡点不存在.此外分别由引理1和引理2可知,系统(1)的解是有界的, 并且无任何形式的闭轨.那么根据引理7, 此时唯一的实平衡点E0是系统(1)的ω极限集, 即当R1<1时,无烟平衡点E0是全局渐近稳定的, 如图3所示.

图3 无烟平衡点E0的全局渐近稳定的平面相图

其中参数取值为:u=3,d1=0.2,d2=0.6,β=0.02,q=0.1,m=4,Sc=7.

当R1>1时, 由于P1S2, 因此有下列定理

定理 2 当R1>1时, 下面结论成立:

(i)当0

(ii)当S1>Sc,S2>Sc时, 实平衡点E2是全局渐近稳定的;

(iii)当S2

证明 首先来证明结论(i).当0

f(P1)=d2(S1-Sc)<0,f(P2)=d2(S2-Sc)<0.

即在区间(P1,P2)上f(P)<0, 这说明此时伪平衡点不存在.在系统(1)解有界并且无闭轨的情况下, 由引理7 可得出唯一的实平衡点E1是全局渐近稳定的, 如图 4 所示.类似地, 也可以得出结论(ii): 当S1>Sc,S2>Sc时, 实平衡点E2是全局渐近稳定的, 如图5所示.

图4 吸烟平衡点E1的全局渐近稳定的平面相图

图5 吸烟平衡点E2的全局渐近稳定的平面相图

接下来证明结论(iii).当S2

f(P1)=d2(S1-Sc)>0,f(P2)=d2(S2-Sc)<0.

此时函数f(P)在区间(P1,P2)上有唯一的一个零点P*,这说明滑模上有一个伪平衡点E*=(P*,Sc).由于在区间(P1,P*)上f(P)>0, 在区间(P*,P2)上f(P)<0, 那么伪平衡点E*在滑模上是稳定的.在系统(1)的解有界并且无闭轨的情况下, 可得出: 当S2

图6 伪平衡点E*的全局渐近稳定的平面相图

其中参数取值为:u=10,d1=0.2,d2=0.6,β=0.1,q=0.1,m=4,Sc=20.

其中参数取值为:u=10,d1=0.2,d2=0.6,β=0.1,q=0.1,m=4,Sc=8.

其中参数取值为:u=10,d1=0.2,d2=0.6,β=0.1,q=0.1,m=8,Sc=13.

4 结 论

提出了一类 Filippov 戒烟模型来研究媒体和政府干预对戒烟的影响.分析了模型的全局动力学性质,得到了各类平衡点的全局渐近稳定的动力学性质.当R1<1时, 平衡点E0是全局渐近稳定的,表明吸烟人数将随着时间推进而趋于0.当R1>1时, 干预强度m与S2成反比, 即当干预强度m越大,S2越小.当S2